Méthode des rectangles

La méthode historique, celle qui explique la notation \(\displaystyle\int_a^bf(x)dx\) , est la méthode des rectangles. 

On divise ainsi l’intervalle \([a,b]\)  en  \(n\) intervalles de taille \(dx\) . On forme alors des rectangles dont l’aire cumulée approchera l'aire sous la courbe. Il y a toutefois trois possibilités pour construire un rectangle entre les abscisses  \(x\) et \(x+dx\) :

• on le construit d’une hauteur \(f(x)\)  : les sommets en haut à gauche de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe ;
  
• on le construit d’une hauteur \(f(x+dx)\)  : les sommets en haut à droite de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe ;
  
• on le construit d’une hauteur \(f\left(x+\dfrac{dx}{2}\right)\)  : les milieux des côtés hauts de chaque rectangle correspondent à des points de la courbe.
  

Il s’avère que le rectangle milieu est plus efficace que les deux autres, mais le raisonnement derrière cette affirmation dépasse le cadre des mathématiques de terminale.

Pour le premier cas, l’algorithme de calcul de la valeur approchée de \(\displaystyle\int_a^bf(x)dx\)  est le suivant.

Entrées 

Une fonction \(f\) , deux réels  \(a\) et  \(b\) désignant les bornes d’intégration et un entier naturel non nul  \(n\)  désignant le nombre de subdivisions de l’intervalle  \([a;b]\) à considérer. On suppose que \(a.

Initialisation

• On assigne à une variable  \(x\) la valeur de  \(a\) .
• On assigne à une variable  \(I\) la valeur 0.
  
• On assigne à une variable \(dx\) la valeur de  \(\dfrac{b-a}{n}\) .

Algorithme

On répète n fois ce qui suit.

• On ajoute à \(I\)  la valeur de  \(f(x) \times dx\)  ;
  
• On ajoute à  \(x\) la valeur de  \(dx\) .
  
• On renvoie la valeur de  \(I\) .

Exercice

1. En suivant l'algorithme donné précédemment, compléter la fonction Python suivante permettant d'approcher l'aire d'une fonction en utilisant la méthode des rectangles à gauche.

2. Compléter la fonction  \(f\) pour qu'elle prenne en argument un réel  \(x\) et renvoie la valeur  \(f(x)=x^3+2x^2-x+3\) .

3. À l'aide de ces deux fonctions, donner une valeur approchée de \(\displaystyle\int_1^4 f(x)dx\) . On prendra  \(n=1000\) .

4. Comparer avec la valeur réelle de cette intégrale, obtenue à l'aide d'une primitive.

def f(x) :
    return ...

def rectangle(f, a, b, n) :
    '''
    Approche l'intégrale de f entre a et b en subdivisant l'intervalle [a,b]
    en n sous-intervalles et en utilisant la méthode des rectangles gauches
    ----------
    Entrées :
    f : une fonction continue dont on souhaite calculer l'intégrale
    a : un réel, borne gauche de l'intervalle d'intégration
    b : un réel, borne droite de l'intervalle d'intégration
    n : un entier, nombre de subdivisions de l'intervalle [a,b]
    ----------
    Sorties :
    I : un réel, valeur approchée de l'intégrale de f
    '''
    x = ...
    I = ...
    dx = ...
    for i in range(...) :
        I = I + ...
        x = x + ...
    return I